이슈브리프

한국은 지난 1월 20일 COVID-19 첫 확진자가 발생한 뒤 현재까지 19,077명의 누적 확진자가 발생했으며 이 중 4,210명이 격리 중이며 316명이 사망하였다.1 이후 2월 18일 31번 확진자2 발생을 기점으로 확진자 수가 기하급수적으로 증가하였고 그 결과 2월 말 기준으로 COVID-19 진원 국가인 중국 다음으로 가장 많은 2,337명을 기록하는 오명을 남겼다. 질병관리본부와 의료진의 헌신 그리고 국민들의 적극적인 방역 참여로 확산세가 제어 불능 상태에 도달하는 최악의 상황을 피할 수 있었으나 최근 또 다시 COVID-19가 재 확산 조짐이 나타나고 있다. 이번 이슈브리프에서는 대표적인 전염병 모델링 (Epidemic Modeling) 방법 중 하나인 SIR모델을 활용해 향후 전개될 상황을 예측해보았다. SIR모델과 같은 전염병 모델링 방법은 현재 해외에서도 COVID-19와 관련해 활발하게 사용하고 있다.3

질병관리본부에서는 한 명의 감염자가 평균적으로 감염시킬 수 있는 2차 감염자 수를 나타낸 기초감염재생산수 (Basic reproductive number)를 COVID-19의 활동성 지표로 사용하고 있는데 이를 세 가지 상황을 가정해 SIR모델로 예측한 결과는 아래 [표 1]과 같다.
 
표1

[표 1] SIR 모델로 예측한 시기별 격리 중 인구 수 (단위: 명, 월말 기준)

 
보이는 바와 같이 상황에 따라 결과의 차이가 매우 큰 것을 확인할 수 있다. 최근의 증가 추세가 계속 유지된다고 가정해 기초감염재생산수 4.32을 적용한 경우 올해 연말 기준 격리 중 인구 수가 약 246만명까지 증가하는 반면 ‘고강도 사회적 거리두기’를 시행한 지난 3월 22일부터 5월 5일까지의 기초감염재생산수 0.33을 적용한 경우 올해 연말 기준 격리 중 인구 수가 60명까지 줄어들게 된다. 지난 8월 23일 중앙방역대책본부 정례 브리핑에서 정은경 본부장이 질의응답에서 밝힌 전국 단위 기초감염재생산수 1.67을 적용한 경우 올해 연말 기준 경리 중 인구수는 약 25만명으로 예상된다.

이처럼 SIR모델과 같은 전염병 모델을 사용하면 전염병이 확산되는 추세를 상황별로 예상해 볼 수 있다. 이제 SIR모델에 대한 소개와 함께 한국의 상황에 실제 적용해 보고 그 결과를 통해 앞으로 어떤 방식으로 COVID-19 확산에 대응해야 할지 이야기해보고자 한다.

 

SIR모델

 
SIR모델은 1927년 영국의 W. Kermack과 A. McKendrick에 의해 발표된 모델로 어떻게 전염병이 확산될 수 있는지를 수학적으로 보여준다4 감염 가능한 인구(S, Susceptible)와 감염된 인구(I, Infectious), 감염 후 회복된 인구(R, Recovered) 총 세 개의 구획으로 이루어져 있으며.5 각 개개인은 세 구획 중 한 곳에 속해 아래의 [그림 1]에서 보여주는 것과 같이 SIR 순서로 이동하는 개념적으로 단순한 구조를 갖는다.
 
표2

[그림 1] SIR 모델의 구획

 
SIR모델에서는 감염된 인구 I의 비율은 감염 가능한 인구 S와 감염된 인구 I 사이의 접촉에 β 만큼 일정하게 비례하며 회복된 인구 R의 비율은 감염된 인구 Iγ만큼 일정하게 비례한다고 가정한다.6 만약 회복되지 못하고 사망했다면 회복된 인구 R에 속하며 한번 회복된 감염자는 다시 감염되지 않는다는 것을 전제로 한다.7 이를 수식으로 표현하면 다음 세 개의 미분방정식으로 표현된다.8
 
그림1
 
첫 번째 수식은 S구획의 감염되지 않았던 인구가 얼마나 빠르게 감염돼 I구획으로 이동하는지를, 두 번째 수식에서는 S구획에서 감염된 인구가 I구획으로 들어옴과 동시에 얼마나 빨리 회복되어 R구획으로 이동하는지를, 마지막 수식에서는 I구획 내 감염된 인구가 얼마나 빠르게 회복돼 R구획으로 이동하는지를 나타낸다.9

이 수식들을 통해 전염병 확산과 관련해 다음과 같은 정보를 얻을 수 있다. 첫째, 전염병이 빠르게 확산될 것인지 아니면 줄어들 것인지에 대해 알 수 있다. 둘째, 전염병 종결 시점과 더불어 감염되지 않은 인구를 파악할 수 있다. 셋째, 감염된 인구의 최대값과 발생 시점 등을 계산할 수 있다.

앞서 언급한 COVID-19의 활동성을 측정하는 지표로 질병관리본부가 활용하고 있는 기초감염재생산수 R0 (Basic reproductive number)를 통해 SIR모델을 구체적으로 알아보자. R0는 감염자가 없는 인구집단에 처음으로 감염자가 발생하였을 때 한 명의 감염자가 평균적으로 감염시킬 수 있는 2차 감염자 수를 나타낸 것이다. 이는 SIR모델에서는 다음과 같이 표현된다.
 
그림2
 
즉, 감염률과 회복률의 비로 R0가 커질수록 전염병이 확산되며, 작아질수록 전염병이 감소한다는 것을 직관적으로 해석할 수 있다. 이를 SIR모델 안에서 자세하게 들여다보자.  전염이 시작된 시점에는 감염 초기이므로 I구획의 인구 수는 극소수임으로 N S구획의 감염 초기 인구 수 S0는 거의 비슷하다 (N~ S0). 또한 회복된 인구가 없기 때문에 R구획의 인구 수는 0명이며 S구획의 인구 수는 감염 초기 시점이 최대이다.10  최종적으로 감염 초기상황에서 앞의 두 번째 수식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
11
 
그림3
 
여기서 괄호 안 식의 부호(‘+’ 또는 ‘‒‘)에 의해 전염병이 확산될 것인지 아닌지 결정된다.
 
① 전염병이 확산되는 경우, ‘+’

그림4
 
 
② 전염병이 줄어드는 경우, ‘‒‘

그림5
 
R0값이 1을 초과할 경우 전염병은 퍼지며 미만일 경우에는 줄어든다. 수식으로 보면 β 값을 줄이거나 γ 값을 키워 R0값을 1 미만으로 유지시킬 수 있다. β값을 감소시키는 방법으로는 ‘사회적 거리두기’를 통해 불필요한 만남을 줄여 평균 접촉자수를 감소시키거나 마스크 착용, 손 씻기, 기침할 때 옷소매로 입과 코 가리기 등의 예방수칙을 준수하는 방법 등이 있으며 γ값을 키우는 방법으로는 COVID-19 치료제가 개발되어 회복률을 높이는 방법이 있다. 다만 효과적인 치료제가 가까운 시일 내에 나오길 기대하기는 힘든 상황이기 때문에 현실적으로는 β값을 감소시키는 것이 현 상황에서는 최선이다. S0 자체를 COVID-19 백신을 통한 예방으로 감염자 수를 줄이는 방법도 있으나 치료제와 마찬가지로 아직 개발 단계에 있으며 현재 검증 완료된 백신은 없다.

 

SIR모델로 바라본 ‘사회적 거리두기’의 방역 효과

 
그렇다면 과연 ‘사회적 거리두기’ 등의 조치가 얼마나 β값을 줄일 수 있는지 확인해보자. 한국 정부는 지난 2월 COVID-19 1차 대유행 시 감염 확산을 통제하기 위해 3월 22일을 기점으로 5월 6일 ‘생활 속 거리두기’로 전환하기 직전까지 총 45일간 ‘고강도 사회적 거리두기’를 시행하였다. 이 기간 동안 실제 I구획의 인구 수 변화와 만약 ‘고강도 사회적 거리두기’를 시행하지 않았다고 가정했을 때 SIR모델로 I구획의 인구 수 변화를 예측해 비교한 결과는 아래 [그림 2]와 같다.12
 

[그림 2] ‘고강도 사회적 거리두기’ 시행 유무에 따른 I 구획 인구 변화 (단위: 명)13

표3
 
[그림 2] (a)는 3월 22일부터 ‘고강도 사회적 거리두기’ 고강도 사회적 거리 두기가 시행된 날 이후 실제 I구획의 인구 수 변화, (b)는 ‘고강도 사회적 거리두기’를 시행하지 않았을 경우를 가정해 SIR모델로 예측한 I구획의 인구 수 변화이다. 만약 ‘고강도 사회적 거리두기’ 이전의 증가추세 그대로 COVID-19 확산이 지속되었다면 (b)의 예측 결과에서 확인할 수 있듯이 COVID-19 감염자가 기하급수적으로 늘어나 최악의 상황을 맞았을 것이다. 하지만 ‘고강도 사회적 거리두기’의 시행으로 실제로는 시행 초기 5,884명에서 종료시점 기준 1,267명으로 총 4,617명으로 I구획의 인구 수가 크게 감소하였다. 과거의 경험에서 ‘사회적 거리두기’의 방역 효과는 이미 검증되었다.

 

SIR모델로 예측한 향후 COVID-19 확산 추세

 
8월 14일 COVID-19 일일 확진자 수가 다시 100명대로 진입한 이후 8월 28일까지 보름간 세 자리 수의 일일 확진자 수를 유지하면서 COVID-19 2차 대유행 조짐이 나타나고 있으며 특히 8월 27일 일일 확진자는 441명을 기록하면서 COVID-19 1차 대유행 시점 이후 최대 규모의 일일 확진자가 발생했다. 심지어 기존의 코로나 바이러스에서 변이가 된 ‘GH‘형으로 알려짐에 따라 1차 대유행 시점에 시행된 ‘고강도 사회적 거리두기’ 이상의 조치가 필요한 상황이다.14 이에 현 상황을 반영해 8월 28일을 기점으로 세 가지 상황을 가정해 SIR모델로 예측해 보고자 한다.15
 

[그림 3] SIR 모델로 예측한 S, I, R  구획 인구 수 변화 (β = 0.2161, γ = 0.05, R0 = 4.32, 단위: 명)

표4
 
[그림 3]은 다시 세 자리 수 이상의 일일 확진자 수가 발생한 8월 14일부터 전국적으로 ‘사회적 거리두기’ 2단계를 시행하기 전날인 8월 22일까지의 증가추세가 이어진다는 가정하에 SIR모델로 예측한 결과이다. 예측 결과 감염된 인구는 2020년 11월 초 최대치인 약 2,288만명을 기록한 후 줄어들어 2021년 11월 중순에 상황이 종료된다. 최종적으로 감염 가능한 인구 약 5,182만명 중 98.8%가 감염 후 회복되며 종료시점 감염되지 않은 인구는 1.2%에 해당되는 약 63만명에 불과하다. 8월 28일 기준 치명률은 1.66%인데 이를 확진된 인구에 적용해보면 최악의 경우 약 87만명에 이르는 사망자가 발생할 수 있다. 다소 과장된 결과로 보일 수 있지만 아무 조치가 없는 상황이 유지되는 경우 매우 심각한 상황에 직면할 수 있다. 이러한 최악의 상황이 실현될 경우 의료체계의 붕괴로 이어질 수 있기 때문에 사전에 강력한 방역조치를 취해야 한다.
 

[그림 4] SIR 모델로 예측한 S, I, R  구획 인구 수 변화 (β = 0.0835, γ = 0.05, R0 = 1.67, 단위: 명)

표5

 
[그림 4]는 2020년 8월 23일 중앙방역대책본부 정례 브리핑에서 정은경 본부장이 질의응답에서 밝힌 전국 단위 R0값인 1.67을 적용해 SIR모델로 예측한 결과이다. 예측 결과 감염된 인구는 2021년 5월 중순 최대치인 약 492만명을 기록한 후 줄어들어 2023년 5월 말에 상황이 종료된다. 최종적으로 감염 가능한 인구 약 5,182만명 중 68.0%가 감염 후 회복되며 종료시점 32.0%에 해당하는 약 1,661만명이 감염되지 않는다. 8월 28일 기준 치명률 1.66%으로 계산하면 약 58만명에 이르는 사망자가 추가로 발생할 수 있다. 이러한 예측 결과는 앞의 [그림 3] 결과에 비해 확산이 많이 줄긴 했지만 여전히 의료체계가 감당할 수 없는 수준이다.
 

[그림 5] SIR 모델로 예측한 S, I, R  구획 인구 수 변화 (β = 0.0165, γ = 0.05, R0 = 0.33, 단위: 명)

표6

 
[그림 5]는 지난 2월 COVID-19 1차 대유행 시 시행한 45일간의 ‘고강도 사회적 거리두기’ 수준의 ‘사회적 거리두기’를 시행한다는 가정하에 SIR모델로 예측한 결과이다. 예측 결과 감염된 인구는 시작점인 2020년 8월 28일 최대치인 4,210명을 기록하며 그 이후 줄어들어 2021년 5월 중순에 상황이 종료된다. 최종적으로 감염 가능한 인구 약 5,182만명 중 0.004%인 2,089명이 추가로 감염되며 8월 28일 기준 치명률 1.66%으로 계산하면 약 35명에 이르는 사망자가 추가로 발생할 수 있다. 실제로 이러한 결과가 나타나게 된다면 앞선 [그림 3]의 결과와 비교했을 때 매우 성공적인 방역 결과로 이어질 수 있으며 만약 ‘고강도 사회적 거리두기’수준 이상의 ‘사회적 거리두기’를 시행한다면 더욱 효과적인 방역이 될 수 있다.

 

정부의 선택은?

 
이번 이슈브리프에서는COVID-19 2차 대유행 조짐이 나타나는 현 시점에서 향후 전개될 상황을 SIR모델을 활용해 예상해보았다. 강력한 ‘사회적 거리두기’는 앞서 확인했듯이 현 시점에서 가장 효과적인 방역 조치이다. 유일한 방역조치로 표현해도 과언이 아닐 것이다. 이미 감염병 전문가 사이에서도 현재 대응 수준으로는 COVID-19 확산 추세를 꺾을 수 없으며 하루빨리 ‘사회적 거리두기’ 3단계로 격상해야 한다는 이야기가 나오고 있다.16 다행히 정부는 8월 27일 중앙사고수습본부 정례 브리핑을 통해 상황의 엄중함을 인식하고 ‘사회적 거리두기’ 3단계 격상을 포함한 모든 가능성을 고려하고 있으며, 필요한 조치는 신속하고 과감하게 취할 것이라고 밝혔다.17 강력한 방역 조치는 사회·경제에 큰 파장을 미치므로 매우 신중한 결정이 요구된다. 정부가 COVID-19 방역 최적의 타이밍을 놓치는 과오를 범하지 않길 바란다.

 

본 문건의 내용은 필자들의 견해로 아산정책연구원의 공식 입장과는 다를 수 있습니다.

  • 1. 8월 28일 기준.
  • 2. 신천지 대구교회 신도.
  • 3. https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7270519/#CR5
  • 4. Kermack, W. O. and McKendrick, A. G., “A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics,” Proceedings of the Royal Society, London, A115, 700-721, 1927.
  • 5. SIR 모델은 뚜렷한 구획으로 나누어져 있어 구획모델(Compartmental model)로도 널리 알려져 있다.
  • 6. β는 한 사람이 주어진 시간(하루)에 만나는 평균 접촉자수와 감염자-비감염자 접촉 시 전염병이 전달될 확률(전염성)을 곱한 값이며, γ는 회복률을 나타내며 1/γ는 평균 회복기간을 의미한다.
  • 7. 여기서 R은Recovered 이외에 Removed로도 표현된다.
  • 8. 여기서 N은 총 인구수이며, 전염병 확산과정의 시초부터 회복단계까지 걸리는 시간이 사람 평균수명과 비교해 볼 때 매우 짧아 출생, 사망, 이주로 인한 총 인구수의 변화에는 큰 영향이 없는 것으로 가정한다. 즉, SIR의 합 N은 시간에 상관없이 항상 동일하다. 또한 위의 미분방정식 모두를 동시에 만족시키는 해는 수치적 방법을 통해 구하며 비례상수인 β, γ 그리고 S, I, N 은 0 이상의 값을 갖는다.
  • 9. 한국의 경우 현재 검역을 통해 해외유입을 통제하고 있으며 전염병 확산과정의 시초부터 회복단계까지 걸리는 시간이 사람 평균수명과 비교해 볼 때 매우 짧아 출생, 사망, 이주로 인한 총 인구수 N의 변화에는 큰 영향이 없는 것으로 가정한다. 또한 SIR모델 적용 시 COVID-19의 재감염 가능성은 없다고 가정하였다.
  • 10. S 0 > S t, t > 0.
  • 11. R0값은 시간에 따라 변하기 때문에 정기적으로 업데이트된 Rt값을 구해 정확도를 높일 수 있다.
  • 12. 2020년 1월 기준 인구 사용, KOSIS
  • 13. SIR모델 예측 시 γ 값은 다수의 매체에서 보도된 코로나 회복기간인 평균 20일을 적용해 0.05로 정하였으며 (실제 자료로 추정한 γ 값으로 구한 회복기간은 20일보다 더 오래 걸림) 31번 확진자 (신천지 대구교회 신도)가 발생한 시점인 2월 18일부터 ‘고강도 사회적 거리두기’ 시행 직전인 3월 21일까지의 자료를 사용해 β 값을 구하였다. 이때 얻어진 β 값은 0.2184인데 ‘고강도 사회적 거리두기’가 시행된 3월 22일부터 5월 5일간의 실제 자료로 구한 β 값은 0.0165로 ‘고강도 사회적 거리두기’를 통해 약 1/13 만큼 줄어든 것을 확인할 수 있다. R0값 역시 4.36에서 0.33으로 개선되었다.
  • 14. https://imnews.imbc.com/replay/2020/nwdesk/article/5885206_32524.html
  • 15. 2020년 7월 기준 인구 사용, KOSIS
  • 16. https://www.yna.co.kr/view/AKR20200827072900530?input=1195m
  • 17. https://www.yna.co.kr/view/AKR20200827092651530?input=1195m

About Experts

김종우
김종우

계량분석센터

김종우 박사는 아산정책연구원의 계량분석센터 선임연구위원이다. 런던대학교에서 이학학사와 임패리얼 컬리지에서 상대성이론 연구로 이학박사 학위를 취득하였으며 캠브리지대학교 컴퓨터학과에서 Diploma 학위도 취득하였다. 유럽 랜드연구소의 Choice Modelling과 Valuation팀에서 연구원으로 재직하였으며 삼성 메모리 반도체 연구소에서 책임연구원으로 활동하였다. 또한 영국의 PCMS-Datafit에서 Java 소프트웨어 개발업무를 담당하였다. 주요 연구분야는 이산선택모델, 그리고 교통, 보건, 통신 및 유틸리티 분야의 Stated Preference 모델 개발, 공공 서비스가치 책정, WTP (Willingness-To-Pay) 등이다. 주요 연구물로는 "Security at What Cost? Quantifying Individuals’ Trade-offs between Privacy, Liberty and Security,” RAND Report (2010)와 “Modelling Demand for Long-Distance Travellers in Great Britain: Stated preference surveys to support the modelling of demand for high speed rail”, RAND Report (2011)외 다수가 있다.

함건희
함건희

연구부문

함건희는 아산정책연구원의 연구원이다. 고려대학교 정보수학과를 졸업하고 성균관대학교에서 통계학 석사학위를 취득했으며 현재 동 대학원 박사과정에 재학 중이다. 성균관대학교 응용통계연구소 연구원, 한국국방연구원 위촉연구원으로 재직한 바 있으며, 연구 관심분야는 혼합모형, 불완전 자료 분석, 방법론 등이다.